Question

設(shè)a為常數(shù)，關(guān)于x的不等式有非零實(shí)數(shù)解，則a的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知的不等式分離出a，整理后設(shè)不等式右邊的式子為y，利用求導(dǎo)法則求出y′，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)二次根式中被開方數(shù)大于0，得到x的范圍，根據(jù)極值點(diǎn)分區(qū)間判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性得到函數(shù)取得最小值時(shí)x的值，把此時(shí)的極值點(diǎn)x的值代入函數(shù)y解析式中，化簡(jiǎn)后即可求出y的最小值，即為滿足題意a的最大值．
解答：解：當(dāng)x≠0時(shí)，不等式，變形得：a≤•=，
設(shè)y=，
令y′==0，
即-=0，
整理得：x-2-1=0，
設(shè)=t（t＞0），則有x=t²，
方程化為：t³-2t-1=0，
即（t³+t²）-（t²+t）-（t+1）=0，
即t²（t+1）-t（t+1）-（t+1）=0，
由t+1≠0，兩邊同時(shí)除以t+1得：t²-t-1=0，
解得：t=或t=（舍去），
∴x=t²=，
根據(jù)不等式的左邊得到x≥0，
根據(jù)右邊得到或，解得：x＞1或x≤0，
∴x＞1，
∴當(dāng)1＜x≤時(shí)，y′＜0，y為減函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，y′＞0，y為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，
y_min===
==，
則a的最大值為．
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識(shí)有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式恒成立時(shí)滿足的條件，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．