Question

已知f（n）=cos

nπ

3

（n∈N^*），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：將n=1，2，3，4，5，…，2014分別代入f（n），歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，求出原式值即可．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=cos

π

3

=

1

2

；
當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=cos

2π

3

=-

1

2

；
當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=cosπ=-1；
當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=cos

4π

3

=-

1

2

；
當(dāng)n=5時(shí)，f（5）=cos

5π

3

=cos（2π-

π

3

）=

1

2

；
當(dāng)n=6時(shí)，f（6）=cos2π=1；
當(dāng)n=7時(shí)，f（7）=cos

7π

3

=cos

π

3

=

1

2

；
當(dāng)n=8時(shí)，f（8）=cos

8π

3

=-

1

2

；
…，
以此類(lèi)推，其值以

1

2

，-

1

2

，-1，-

1

2

，

1

2

，1循環(huán)，且之和為0，是以6個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的函數(shù)值為一個(gè)周期的數(shù)列．
∵2014÷6=334，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）+（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）+…+（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期，數(shù)列求和，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握函數(shù)的周期是解本題的關(guān)鍵．