Question

10．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，已知點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x的圖象上，且a₃a₄=$\frac{8}{27}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=n•a_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$，從而{a_n}是以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出a₁=$\frac{3}{2}$，由此能求出a_n．
（2）由b_n=n•a_n=$n•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x的圖象上，
∴${a}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_{n}$，∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∵a₃a₄=$\frac{8}{27}$，∴${a}_{1}•（\frac{2}{3}）^{2}×{a}_{1}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，解得a₁=$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{3}{2}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$=（$\frac{2}{3}$）^n-2．
（2）∵b_n=n•a_n=$n•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$1×（\frac{2}{3}）^{-1}+2×（\frac{2}{3}）^{0}+3×（\frac{2}{3}）+$…+n×（$\frac{2}{3}$）^n-2，①
$\frac{2}{3}$S_n=$1×（\frac{2}{3}）^{0}+2×（\frac{2}{3}）+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$（\frac{2}{3}）^{-1}+（\frac{2}{3}）^{0}+（\frac{2}{3}）+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（$\frac{2}{3}$）^n-2-n×（$\frac{2}{3}$）^n-1
=$\frac{\frac{3}{2}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-n×（$\frac{2}{3}$）^n-1
=$\frac{9}{2}$-（n+3）×（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴S_n=$\frac{27}{2}$-（3n+9）×（$\frac{2}{3}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．