Question

8．在銳角△ABC中，已知$AB=2\sqrt{3}，BC=3$，其面積${S_{△ABC}}=3\sqrt{2}$，則△ABC的外接圓面積為$\frac{27π}{8}$．

Answer 1

分析 由題意和三角形的面積公式求出sinB，由銳角三角形的條件和平方關系求出cosB，由余弦定理求出AC，由正弦定理求出△ABC的外接圓的半徑，代入圓的面積公式求出答案．

解答 解：∵$AB=2\sqrt{3}，BC=3$，其面積${S_{△ABC}}=3\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}•AB•BC•sinB=3\sqrt{2}$，
則$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3×sinB=3\sqrt{2}$，得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是銳角三角形，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理得，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB
=12+9-$2×2\sqrt{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{3}$=9，則AC=3，
∴$\frac{AC}{sinB}=\frac{3}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，則△ABC的外接圓半徑是$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
∴△ABC的外接圓面積S=$π×{（\frac{3\sqrt{6}}{4}）}^{2}$=$\frac{27π}{8}$，
故答案為：$\frac{27π}{8}$．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應用，以及三角形的面積公式，考查化簡、變形能力．