已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

 

（1）（2）

【解析】(1)直線AM的斜率為1時，直線AM為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0，解之得x1＝－2，x2＝－，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

(2)設(shè)直線AM的斜率為k，則AM為y＝k(x＋2)，

則化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

∵此方程有一根為－2，∴xM＝，同理可得xN＝

由(1)知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為P.

∵kMP＝，

同理可計(jì)算得kPN＝.∴直線MN過x軸上的一定點(diǎn)P

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，一動直線l過A(－1，0)與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，

M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1)求證：當(dāng)l與m垂直時，l必過圓心C；

(2)當(dāng)PQ＝2時，求直線l的方程；

(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

 

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設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________條件．

 

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已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

 

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已知拋物線y2＝2px(p≠0)及定點(diǎn)A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)．設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為M1、M2，當(dāng)M變動時，直線M1M2恒過一個定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為________．

 

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如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

 

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已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)若AB＝，求k的值；

(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

 

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已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點(diǎn)P(2，1)作直線交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)，并使P(2，1)為P1P2的中點(diǎn)，則此直線方程是____________．

 

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等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（ ）

A.52 B.54 C.56 D.58

 

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