Question

已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）當a≥0時，遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當a＜0時，遞減區(qū)間是(0，)；遞增區(qū)間是(，＋∞)；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（Ⅰ）求定義域與導函數(shù)，因含有參數(shù)，分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）利用“函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立”，得到不等式恒成立；再分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可.

規(guī)律總結：若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間恒成立；“若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間恒成立.

試題解析：（Ⅰ）f′(x)＝2x＋＝， 函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．

①當a≥0時，f′(x)＞0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；

②當a＜0時，f′(x)＝．

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(0，)		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		極小值

 

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)．

（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，

由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，

即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立．

令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，

所以h(x)在[1,2]上為減函數(shù)，h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－．

故實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－}.

考點：1.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù).