Question

幾何體P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且BE=2CE．
（1）求直線(xiàn)DE與PC夾角θ的余弦值；
（2）求直線(xiàn)DE與平面ABC所成角α的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩條直線(xiàn)所在的向量，利用向量之間的運(yùn)算計(jì)算出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條異面直線(xiàn)的夾角；
（2）連接AE，根據(jù)PA⊥面ABC，可得∠DEA為直線(xiàn)DE與平面ABC所成角，從而可求直線(xiàn)DE與平面ABC所成角α的余弦值．

解答：解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以

DE

=（1，2，-2），

PC

=（0，3，-4），

AB

=（3，0，0），

BE

=（-2，2，0）．
所以直線(xiàn)DE與PC夾角θ的余弦值為：cos=cos＜

DE

，

PC

＞=

DE • PC

| DE || PC |

=

14

15

（2）連接AE，則∵PA⊥面ABC，∴∠DEA為直線(xiàn)DE與平面ABC所成角
∵

AE

=（1，2，0），
∴直線(xiàn)DE與平面ABC所成角α的余弦值為cos＜

DE

，

AE

＞=

DE • AE

| DE || AE |

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)線(xiàn)角、考查線(xiàn)面角，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的知識(shí)解決空間角是解題的關(guān)鍵．