Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+2nlnx-p在區(qū)間（0，1）內(nèi)取極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取極小值，則z=3m-2n的取值范圍為（-11，-3）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得x²+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，即有g(shù)（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0，得到關(guān)于m，n的不等式組，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，運(yùn)用角點(diǎn)法，代入計(jì)算求出z=3m-2n的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+2nlnx-p，
∴f′（x）=x+m+$\frac{2n}{x}$（x＞0）=$\frac{{x}^{2}+mx+2n}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，
∴g（x）=x²+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根，
g（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2n＞0}\\{m+2n+1＜0}\\{m+n+2＞0}\end{array}\right.$，
z=3m-2n的幾何意義為m=0，直線在n軸截距的-2倍，
如圖示：
求得A（-2，0），B（-1，0），C（-3，1），
代入z=3m-2n可得z=-6，-3，-11，
則z=3m-2n的取值范圍為（-11，-3）．
故答案為：（-11，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值問(wèn)題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，運(yùn)用角點(diǎn)法求得z是解題的關(guān)鍵，是一道中檔題．