Question

對于函數(shù)f（x）=9^x-m•3^x+1，若存在實數(shù)x₀使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意得，9^-x₀-m•3^-x₀+1=-9^x₀+m•3^x₀+1，分離參數(shù)m得：3m=3^x₀+3^-x₀-

2

3x0+3-x0

，構(gòu)造函數(shù)t=3x0+3-x0，t≥2，則3m=t-

2

t

（t≥2），利用其單調(diào)性可求得3m的最小值，從而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=9^x-m•3^x+1，f（-x₀）=-f（x₀），
∴9^-x₀-m•3^-x₀+1=-9^x₀+m•3^x₀+1，
∴3m（3^x₀+3^-x₀）=9^x₀+9^-x₀，
∴3m=

9x0+9-x0

3x0+3-x0

=3x0+3-x0-

2

3x0+3-x0

，
令t=3^x₀+3^-x₀，則t≥2，
∴3m=t-

2

t

（t≥2），
∵函數(shù)y=t與函數(shù)y=-

2

t

在[2，+∞）上均為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴3m=t-

2

t

（t≥2）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=2時，3m=t-

2

t

（t≥2）取得最小值1，即3m≥1，
解得：m≥

1

3

．
故答案為：[

1

3

，+∞）．

點評：本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，求得3m=3x0+3-x0-

2

3x0+3-x0

是關(guān)鍵，也是難點，考查構(gòu)造函數(shù)思想，考查雙鉤函數(shù)的性質(zhì)與綜合運算能力．