Question

在?ABCD中，AP⊥BD于P，AP=3，則

AP

•

AC

=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)對角線AC、BD相交于O點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與向量加法法則，得到

AC

=2

AO

=2（

AP

+

PO

），從而可得

AP

•

AC

=2

AP

•

AO

=2

AP

2+2

AP

•

PO

．再由

AP

²=

|AP|

²=9且

AP

•

PO

=0，代入前面的式子即可得到

AP

•

AC

的值．

解答：解：設(shè)對角線AC、BD相交于O點，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

AC

=2

AO

=2（

AP

+

PO

），
因此，

AP

•

AC

=

AP

•2

AO

=2

AP

•

AO

=2

AP

•（

AP

+

PO

）=2

AP

2+2

AP

•

PO

，
∵

|AP|

=3，

AP

⊥

PO

，
∴

AP

²=

|AP|

²=9，

AP

•

PO

=0，
由此可得

AP

•

AC

=2

AP

2+0=2×9=18．
故答案為：18

點評：本題在平行四邊形中求向量的數(shù)量積，著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．