Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m），
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|·|OE|，
（�。┣笞C：直線l過定點(diǎn)；
（ⅱ）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意：設(shè)直線l：y=kx+n(n≠0)，
由，消y得：，
設(shè)A、B，AB的中點(diǎn)E，
則由韋達(dá)定理得：=，
即，，
所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E，
因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以k_OE=k_OD，
即，解得，
所以m²+k²=，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，
即m²+k²的最小值為2。
（Ⅱ）（�。┳C明：由題意知：n＞0，因?yàn)橹本�OD的方程為，
所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110830/201108301621236711022.gif">，，且|OG|²=|OD|·|OE|，
所以，
又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，
所以直線l的方程為l：y=kx+k，即有l(wèi)：y=k（x+1），
令x=-1得，y=0，與實(shí)數(shù)k無關(guān)，所以直線l過定點(diǎn)(-1，0)；
（ⅱ）假設(shè)點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對稱，則有△ABG的外接圓的圓心在x軸上，
又在線段AB的中垂線上，由（�。┲�點(diǎn)G，
所以點(diǎn)B，
又因?yàn)橹本�l過定點(diǎn)(-1，0)，
所以直線l的斜率為，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110830/20110830162123781941.gif">，所以解得或6，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110830/20110830162123812950.gif">，所以m²=6舍去，即m²=1，
此時(shí)k=1，m=1，E，
AB的中垂線為2x+2y+1=0，
圓心坐標(biāo)為，G，圓半徑為，
圓的方程為；
綜上所述，點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對稱，此時(shí)△ABG的外接圓的方程為。