Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圓x2+y2=(

b

2

+c)2(c為橢圓的半焦距），有四個不同的交點，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．(

  5

  5

  ，

  3

  5

  )
• B．(

  2

  5

  ，

  5

  5

  )
• C．(

  2

  5

  ，

  3

  5

  )
• D．(0，

  5

  5

  )

Answer 1

分析：由題設知

b 2 +c＞b b 2 +c＜a

，由

b

2

+c＞b，得2c＞b，再平方，4c²＞b²，e=

c

a

＞

5

5

；由

b

2

+c＜a，得b+2c＜2a，e＜

3

5

．綜上所述，

5

5

＜e＜

3

5

．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圓x2+y2=(

b

2

+c)2(c為橢圓的半焦距）的中心都在原點，
且它們有四個交點，
∴圓的半徑

b 2 +c＞b b 2 +c＜a

，
由

b

2

+c＞b，得2c＞b，再平方，4c²＞b²，
在橢圓中，a²=b²+c²＜5c²，
∴e=

c

a

＞

5

5

；
由

b

2

+c＜a，得b+2c＜2a，
再平方，b²+4c²+4bc＜4a²，
∴3c²+4bc＜3a²，
∴4bc＜3b²，
∴4c＜3b，
∴16c²＜9b²，
∴16c²＜9a²-9c²，
∴9a²＞25c²，
∴

c2

a2

＜

9

25

，
∴e＜

3

5

．
綜上所述，

5

5

＜e＜

3

5

．
故選A．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．