Question

在班級(jí)活動(dòng)中，某小組的4 名男生和2 名女生站成一排表演節(jié)目：
（Ⅰ）兩名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
（Ⅱ）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
（Ⅲ）4名男生相鄰有多少種不同的排法？
（Ⅳ）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）

Answer 1

解：（I）由題意知兩名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴=24種結(jié)果，
再在男生寫出的5個(gè)空中排列兩名女生，有A₅²=20種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20=480種結(jié)果
即兩名女生不能相鄰的排列方法有480種結(jié)果，
（II）由題意知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結(jié)果，
甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結(jié)果，余下的4個(gè)人在四個(gè)位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結(jié)果，
∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有120+384=504種結(jié)果
（III）4名同學(xué)相鄰可以把四名男生作為一個(gè)元素，和2名女生共有三個(gè)元素排列，有A₃³=6種結(jié)果，
其中四名男生內(nèi)部還有一個(gè)排列，共有6A₄⁴=144種結(jié)果．
（Ⅳ）首先把6名同學(xué)全排列，共有A₆⁶=720種結(jié)果，
甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A₃³=6種結(jié)果，
要使的甲乙丙三個(gè)人按照一個(gè)高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，有=120種結(jié)果．
即甲乙丙按照高矮的順序排列共有120種結(jié)果．
分析：（I）兩名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴種結(jié)果，再在男生寫出的5個(gè)空中排列兩名女生，有A₅²種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有24×20種結(jié)果．
（II）分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結(jié)果，甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結(jié)果，余下的4個(gè)人在四個(gè)位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結(jié)果，相加得到結(jié)果．
（III）4名同學(xué)相鄰可以把四名男生作為一個(gè)元素，和2名女生共有三個(gè)元素排列，有A₃³=6種結(jié)果，其中四名男生內(nèi)部還有一個(gè)排列，共有6A₄⁴=144種結(jié)果
（Ⅳ）首先把6名同學(xué)全排列，共有A₆⁶種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A₃³種結(jié)果，要使的甲乙丙三個(gè)人按照一個(gè)高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，有種結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，按照高矮順序排列采用全排列除以三個(gè)人之間的排列．