Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a+1）e^x。
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）已知x₁，x₂為f（x）的兩個不同極值點，x₁< x₂，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂ |-1若，證明。

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2，f（x）=（x²-1）e^x， f '（x）=（x²+2x-1）e^x 
∴f '（1）=2e
又f（1）=0，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為
y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0。       
（2）因為f '（x）=（x²+2x-a+1）e^x ，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1，
因為 |x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，  所以2≥|-a+1|-1，解得-2≤a≤4。
又由△>0得a>0，所以0<a≤ 4，
又由f '（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁=
因為0<a≤4，所以 ∈[-3，-1）

又因為，
所以a=（-1-x₁）²=x₁²+2x₁+1
所以，
令=0得x₁=-2或2，
在區(qū)間[-3，-1）上，g（x₁），g'（x₁）變化狀態(tài)如下表：
     
所以當(dāng)x₁=-2時，g（x₁）取得最大值，所以