設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且atanB=
203
，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和邊長a；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=10，求cos4C的值．
分析：（Ⅰ）首先由正弦定理求出asinB的值，然后利用弦切互化關(guān)系結(jié)合已知條件即可求出cosB，再由cosB求得sinB、tanB，則求得a；
（Ⅱ）先由三角形面積公式求出c，則可得A=C，再利用余弦定理把cos4C用A+C的三角函數(shù)表示，進(jìn)而用B的三角函數(shù)表示，則問題解決．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="goeih1h" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
a
sinA
=
b
sinB
，所以asinB=bsinA=4，
又atanB=
20
3
，即
asinB
cosB
= 
20
3
，
所以cosB=
3
5
；
則sinB=
4
5
，tanB=
4
3
，
所以a=
20
3
×
3
4
=5．
（Ⅱ）由S=
1
2
acsinB=
1
2
×4c=10，得c=5．
又a=5，所以A=C．
所以cos4C=2cos22C-1
=2cos2（A+C）-1
=2cos2B-1
=2×(
3
5
)2-1
=-
7
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、弦切互化關(guān)系及余弦的倍角公式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
3
2
sin2x-cos2-
1
2
，（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若
m
=（1，sinA）與
n
=（2，sinB）共線，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若b=
3
，c=1，B=60°，則角C=
 
°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c
（1）求證：acosB+bcosA=c；
（2）若acosB-bcosA=
3
5
c，試求
tanA
tanB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[
5
24
π，
3
4
π]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并寫出相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足c=
3
，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
（1）若a=1，b=2，cosC=
1
4
，求△ABC的周長；
（2）若直線l：
x
a
+
y
b
=1恒過點(diǎn)D（1，4），求u=a+b的最小值．

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