Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（3）若對任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）的極小值為，無極大值；
（2）①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
（3）.

試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240352203821314.png" style="vertical-align:middle;" />對任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個(gè)恒成立，整理表達(dá)式，即對任意恒成立，所以再求即可.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，        1分
由,解得.                          2分
∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).                           3分
∴的極小值為，無極大值.                               4分
（2）.   5分
①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；         6分
②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；                              8分
③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).        8分
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是減函數(shù)，
∴.                        9分
由對任意的恒成立，
∴                              10分
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，                               11分
由于當(dāng)時(shí)，，∴.                     12分