【題目】已知圓與圓相外切,且與直線相切.
(1)記圓心的軌跡為曲線,求的方程;
(2)過點(diǎn)的兩條直線與曲線分別相交于點(diǎn)和,線段和的中點(diǎn)分別為.如果直線與的斜率之積等于1,求證:直線經(jīng)過定點(diǎn).
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線定義可知圓心的軌跡為拋物線,進(jìn)而可得其軌跡方程.
(2)由題意可設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,表示出直線的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的,可得點(diǎn)的坐標(biāo);即可表示出直線的斜率及其方程,進(jìn)而得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)依題意等于到直線的距離,
故所求軌跡是以為焦點(diǎn),以為準(zhǔn)線的拋物線.
故其軌跡的方程為.
(2)依題意直線斜率都存在且均不為,
故設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為.
直線的方程為,
即為.
由消去整理得,
所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的,可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以直線的斜率,
所以直線的方程為,
即.
故經(jīng)過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“業(yè)務(wù)技能測(cè)試”是量化考核員工績效等級(jí)的一項(xiàng)重要參考依據(jù).某公司為量化考核員工績效等級(jí)設(shè)計(jì)了A,B兩套測(cè)試方案,現(xiàn)各抽取名員工參加A,B兩套測(cè)試方案的預(yù)測(cè)試,統(tǒng)計(jì)成績(滿分分),得到如下頻率分布表.
成績頻率 | |||||||
方案A | |||||||
方案B |
(1)從預(yù)測(cè)試成績?cè)?/span>的員工中隨機(jī)抽取人,記參加方案A的人數(shù)為,求的最有可能的取值;
(2)由于方案A的預(yù)測(cè)試成績更接近正態(tài)分布,該公司選擇方案A進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試.測(cè)試后,公司統(tǒng)計(jì)了若干部門測(cè)試的平均成績與績效等級(jí)優(yōu)秀率,如下表所示:
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,初步判斷,選用作為回歸方程.令,經(jīng)計(jì)算得,,.
(。┤裟巢块T測(cè)試的平均成績?yōu)?/span>,則其績效等級(jí)優(yōu)秀率的預(yù)報(bào)值為多少?
(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,求某個(gè)部門績效等級(jí)優(yōu)秀率不低于的概率為多少?
參考公式與數(shù)據(jù):(1),,.
(2)線性回歸方程中,,.
(3)若隨機(jī)變量,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,a2+a4=14且a2﹣1,a3+1,a4+7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐的底面是邊長的菱形,,的中點(diǎn)是頂點(diǎn)在底面的射影,是的中點(diǎn).
(1)求證:面平面;
(2)若,求面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)急需住院人數(shù)超過醫(yī)院所能收治的病人數(shù)量時(shí)就會(huì)發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,在新冠肺炎爆發(fā)期間,境外某市每日下班后統(tǒng)計(jì)住院人數(shù),從中發(fā)現(xiàn):該市每日因新冠肺炎住院人數(shù)均比前一天下班后統(tǒng)計(jì)的住院人數(shù)增加約25%,但每日大約有200名新冠肺炎患者治愈出院,已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療,該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者,若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展,該市因新冠肺炎疫情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,只需要約( )
參考數(shù)據(jù):.
A.7天B.10天C.13天D.16天
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè),對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;
求證:當(dāng)時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動(dòng)圓過定點(diǎn),且在軸上截得的弦的長為4.
(1)若動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的面積;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn),是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.
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