Question

如圖，已知直線L：x=my+1過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線G：x=a²上的射影依次為點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；（2）（理科生做）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；
否則說(shuō)明理由．
（文科生做）若N(

a2+1

2

，0)為x軸上一點(diǎn)，求證：

AN

=λ

NE

．

Answer 1

分析：（1）先由已知得b=

3

以及c=1，即可求出橢圓C的方程；
（2）（理科生做）先讓m取0，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于此定點(diǎn)N．先利用斜率相等證明A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線，即可證明結(jié)論．
（文科生做）直接求直線AN和直線NE的斜率，利用上面的過(guò)程得到二者斜率相等即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）易知b=

3

⇒b²=3，
又F（1，0），c=1，∴a²=b²+c²=4．
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）（理科生做）因?yàn)镕（1，0），k=（a²，0）
先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N，且N(

a2+1

2

，0)
猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

a2+1

2

，0)．
證明：設(shè)設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁），
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N．
由

x=my+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

⇒（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0．△4a²b²（a²+m²b²-1）＞0，（因?yàn)閍＞1）
且．y₁+y₂=-

2mb2

a2+b2m2

   ①，y₁•y₂=

b2(1-a2)

a2+b2m2

    ②．
因?yàn)镵_AN=

-y1

a2-1 2 -my1

，K_EN=

-y2

1-a2 2

，
所以k_AN-K_EN=

1-a2 2 (y1+y2) -my1y2

1-a2 2 ( 1-a2 2 -my1)

    ③，
把①②代入③整理得K_AN-K_EN=0．
∴K_AN=K_EN∴A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)N(

a2+1

2

，0)．
（文科生做）．直接求出直線AN和直線NE的斜率，利用上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到二者斜率相等，故A、N、E三點(diǎn)共線．即可得：

AN

=λ

NE

．

點(diǎn)評(píng)：題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想．