Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-t）²+（e^2x-2t）²，x∈R，其中參數(shù)t∈R，則函數(shù)f（x）的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 令g（t）=f（x）=5t²-（2x+4e^2x）t+x²+e^4x，從而可得g_min（t）=$\frac{{e}^{4x}+4{x}^{2}-4x{e}^{2x}}{5}$，再令h（x）=e^4x+4x²-4xe^2x=（e^2x-2x）²，從而可求最小值．

解答 解：g（t）=f（x）=（x-t）²+（e^2x-2t）²
=5t²-（2x+4e^2x）t+x²+e^4x，
故當t=$\frac{x+2{e}^{2x}}{5}$時，
g_min（t）=$\frac{4×5×（{x}^{2}+{e}^{4x}）-（2x+4{e}^{2x}）^{2}}{4×5}$
=$\frac{{e}^{4x}+4{x}^{2}-4x{e}^{2x}}{5}$，
令h（x）=e^4x+4x²-4xe^2x=（e^2x-2x）²，
令m（x）=e^2x-2x，
故m′（x）=2（e^2x-1），
故當e^2x-1=0，即x=0時，
m（x）有最小值為1，
故h（x）有最小值1，
故函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{1}{5}$，
故選：A．

點評 本題考查了轉(zhuǎn)化思想的應用及導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．