Question

在△ABC中，a，b，c分別是三內角A，B，C所對應的三邊，已知b²+c²=a²+bc
（1）求角A的大小；
（2）若2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）將b²+c²=a²+bc?b²+c²-a²=bc?

b2+c2-a2

2bc

= 

1

2

，由同性結合余弦定理知cosA=

1

2

，可求出A的大�。�
（2）用半角公式對2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1進行變形，其可變?yōu)閏osB+cosC=1，又由（1）的結論知，A=

π

3

，故B+C=

2π

3

，與cosB+cosC=1聯(lián)立可求得B，C的值，由角判斷△ABC的形狀．

解答：解：（1）在△ABC中，∵b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

= 

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
又A是三角形的內角，故A=

π

3

（2）∵2sin2

B

2

+2sin2

C

2

=1，
∴1-cosB+1-cosC=1∴cosB+cosC=1，
由（1）的結論知，A=

π

3

，故B+C=

2π

3

∴cosB+cos（

2π

3

-B）=1，
即cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB=1，
即

3

2

sinB+

1

2

cosB=1
∴sin（B+

π

6

）=1，
又0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴B+

π

6

=

π

2

∴B=

π

3

，C=

π

3

故△ABC是等邊三角形．

點評：本題考點是三角形中的余弦定理，考查余弦定理與三角恒等變換公式，是解三角形中綜合性較強的一道題．