Question

設(shè)f（x）=x^m+ax的導(dǎo)函數(shù)為f^/（x）=2x+1且∫₁²f（-x）dx=a  則（ax+

1

6

）¹²展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為

 

．

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)先求出f（x）=x²+x，再由∫₁²f（-x）dx=a 求出a的值，然后再求（ax+

1

6

）¹²展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

解答：解：∵f（x）=x^m+ax的導(dǎo)函數(shù)為f^/（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，
∴∫₁²f（-x）dx=∫₁²（（-x）²-x）dx=（

1

3

x3-

1

2

x2）|₁²=

5

6

，
∴a=

5

6

．
∴（ax+

1

6

）¹²展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和=(

5

6

+

1

6

) 12=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和定積分的應(yīng)用，解題時(shí)要公式的靈活運(yùn)用．