Question

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為120°求：
（Ⅰ）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；  
（Ⅱ）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（Ⅲ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數(shù)量的夾角公式和加減運算法則的關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²，在求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的長度．
（Ⅲ）利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，由于$|\overrightarrow a|=4$，$|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為120°，
那么可得：$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b=16-8-4×2×（-\frac{1}{2}）=12$．
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16+4+2cos120°•$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|$=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$2\sqrt{3}$．
（Ⅲ）根據(jù)題意，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•cosθ$，
那么：cosθ=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{16+4×2•cos120°}{4×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$，
故得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力．