Question

已知如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D、D₁分別為AC、A₁C₁上的點(diǎn)．
（1）當(dāng)

A1D1

D1C1

等于何值時，BC₁∥平面AB₁D_1？
（2）若平面BC₁D∥平面AB₁D₁，求

AD

DC

的值．

Answer 1

分析：（1）欲證BC₁∥平面AB₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BC₁與平面AB₁D₁內(nèi)一直線平行，取D₁為線段A₁C₁的中點(diǎn)，此時

A1D1

D1C1

=1，連接A₁B交AB₁于點(diǎn)O，連接OD₁，OD₁∥BC₁，OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)平面BC₁D與平面AB₁D₁平行的性質(zhì)定理可知BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁，根據(jù)比例關(guān)系即可求出所求．

解答：解：（1）如圖，取D₁為線段A₁C₁的中點(diǎn)，此時

A1D1

D1C1

=1，
連接A₁B交AB₁于點(diǎn)O，連接OD₁．
由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A₁ABB₁為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A₁B的中點(diǎn)．
在△A₁BC₁中，點(diǎn)O、D₁分別為A₁B、A₁C₁的中點(diǎn)，
∴OD₁∥BC₁．
又∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
∴

A1D1

D1C1

=1時，BC₁∥平面AB₁D₁，

（2）由已知，平面BC₁D∥平面AB₁D₁
且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁，
平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O．
因此BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁．
∴

A1D1

D1C1

=

A1O

OB

，

A1D1

D1C1

=

DC

AD

．
又∵

A1O

OB

=1，
∴

DC

AD

=1，即

AD

DC

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的性質(zhì)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．