定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A、B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).給出如下四個命題:①對于給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;②定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);③g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個承托函數(shù);④數(shù)學公式為函數(shù)f(x)=x2的一個承托函數(shù).其中正確的命題有________.

①③
分析:函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))是函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),即說明函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的上方(至多有一個交點)①舉例可以說明,如f(x)=cosx,則g(x)=B(B<-1)就是它的一個承托函數(shù),且有無數(shù)個,反例如
y=tanx或y=lgx就沒有承托函數(shù);②f(x)=2x+3的定義域和值域都是R,存在一個承托函數(shù)y=2x+1,故命題②不正確;③要說明g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個承托函數(shù);即證明F(x)=ex-2x的圖象恒在x軸上方;④舉反例即可.
解答:①如f(x)=sinx,則g(x)=B(B<-1)就是它的一個承托函數(shù),且有無數(shù)個,再如y=tanx.y=lgx就沒有承托函數(shù),∴命題①正確;
②f(x)=2x+3的定義域和值域都是R,存在一個承托函數(shù)y=2x+1,故命題②不正確;
③令F(x)═|3x|-2x=,
可見在x≥0時,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增,最小值F(0)=0,
在x<0時,函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,最小值大于F(0)=0,
∴F(x)≥0在R上恒成立,符合定義
∴命題③正確;
④x=1時,g(1)=,f(1)=1,顯然g(1)<f(1),
當x=時,g( )=,f( )=,顯然g( )>f( ),
命題④不正確.
故答案為:①③
點評:本題是新定義題,考查對題意的理解和轉化的能力,要說明一個命題是正確的,必須給出證明,如③,對于存在性命題的探討,只需舉例說明即可,如①,對于不正確的命題,舉反例即可,如②③,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且f(x)的導數(shù)f'(x)在R上恒有f′(x)
1
2
(x∈R),則不等式f(x2)<
x2
2
+
1
2
的解集為(  )
A、(1,+∞)
B、(-∞,-1)
C、(-1,1)
D、(-∞,-1)∪(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)若a,b,c滿足b2-3ac<0,求證:函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

23、已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f'(x),滿足兩個條件:①對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函數(shù)的f(x)的表達式;
(2)對任意x1,x2∈[-1,1],求證:|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<2,則不等式f(2x)<4x的解集為
{x|x>
1
2
}
{x|x>
1
2
}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))使得f(x)≥g(x)對任意的x∈R都成立,則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù),則下列說法正確的是( 。
A、函數(shù)f(x)=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g(x)=x為函數(shù)f(x)=sinx的一個承托函數(shù)
C、g(x)=x為函數(shù)f(x)=ex-1的一個承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案