Question

13．已知函數(shù)f（x）=a（x²-1）-lnx．
（1）若y=f（x）在x=2處取得極小值，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{lnn}＞\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（2）=0，求出a的值，檢驗即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意確定a的范圍即可；
（3）令a=$\frac{1}{2}$，∴當(dāng)x=1時，$\frac{1}{lnx}＞\frac{2}{{{x^2}-1}}$，分別取x=2，3，4，…，n，累加即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=2處取得極小值，∴f'（2）=0，即$a=\frac{1}{8}$，
此時，經(jīng)驗證x=2是f（x）的極小值點，故$a=\frac{1}{8}$．
（2）∵$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＜f（1）=0矛盾．
②當(dāng)a＞0時，$f'（x）=\frac{{2a{x^2}-1}}{x}$，
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{{\sqrt{2a}}}$；f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{{\sqrt{2a}}}$．
（i）當(dāng)$\frac{1}{{\sqrt{2a}}}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，
$x∈（1，\frac{1}{{\sqrt{2a}}}）$時，f'（x）＜0，即f（x）遞減，
∴f（x）＜f（1）=0矛盾．
（ii）當(dāng)$\frac{1}{{\sqrt{2a}}}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$時，
x∈[1，+∞）時，f'（x）＞0，即f（x）遞增，
∴f（x）≥f（1）=0滿足題意．
綜上，$a≥\frac{1}{2}$．
（3）證明：由（2）知令$a=\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈[1，+∞）時，$\frac{1}{2}（{x^2}-1）-lnx≥0$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”）
∴當(dāng)x=1時，$\frac{1}{lnx}＞\frac{2}{{{x^2}-1}}$．
即當(dāng)x=2，3，4，…，n，有：
$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{lnn}＞2（\frac{1}{{{2^2}-1}}+\frac{1}{{{3^2}-1}}+…+\frac{1}{{{n^2}-1}}）$
=$2（\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（n-1）（n+1）}）$
=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{{3{n^2}-n-2}}{{2{n^2}+2n}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．