計算：（1）若數(shù)列an=
1
n(n-1)
，求
lim
n→∞
(a2+a3+a4+…+an)；
（2）若函數(shù)f(x)=
x
-1
x•(x-1)
(x＞1)
a+2x(x≤1)
在R上是連續(xù)函數(shù)，求a的取值．
分析：（1）由an=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
，知a2+a3+a4+…+an=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=1-
1
n
．由此能求出
lim
n→∞
(a2+a3+a4+…+an)．
（2）由函數(shù)f(x)=
x
-1
x•(x-1)
(x＞1)
a+2x(x≤1)
，知
lim
x→1-
f(x)=
lim
x→1-
 (a+2x)=a+2，
lim
x→1+
f(x)=
lim
x→1+
x
-1
x(x-1)
=
1
2
．由f（x）在R上是連續(xù)函數(shù)，能求出a．
解答：解：（1）∵an=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
，
a2+a3+a4+…+an
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=1-
1
n
．
∴
lim
n→∞
(a2+a3+a4+…+an)
=
lim
n→∞
(1-
1
n
)
=1．
（2）∵函數(shù)f(x)=
x
-1
x•(x-1)
(x＞1)
a+2x(x≤1)
，
∴
lim
x→1-
f(x)=
lim
x→1-
 (a+2x)=a+2，
lim
x→1+
f(x)=
lim
x→1+
x
-1
x(x-1)

=
lim
x→1+
x
-1
x(
x
-1)(
x
+1)

=
lim
x→1+
1
x(
x
+1)

=
1
2
．
∵f（x）在R上是連續(xù)函數(shù)，
∴a+2=
1
2
，
∴a=-
3
2
．
點評：（1）題考查數(shù)列的極限，解題時要注意裂項求和法的靈活運用；（2）題考查函數(shù)的連續(xù)性，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)[理]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，H為平面EDB內(nèi)一點，
HC1
={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）證明HC1⊥平面EDB；
（2）求BC1與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數(shù)列{an}的通項公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)，記f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．
（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測f（n）的表達式；
（3）證明（2）中你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，
an=-2an-1+4bn-1
bn=-5an-1+7bn-1
，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求am，bm的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的
ACD
ACD

（請?zhí)畛鋈看鸢福?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當a≠b，5a≠4b時，{an-bn}及{5an-4bn}均為等比數(shù)列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{an-bn}是等比數(shù)列，過程如下：an-bn=（-2an-1+4bn-1）+（5an-1-7bn-1）=3an-1-3bn-1=3（an-1-bn-1）
所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0為首項，以
3
3
為公比的等比數(shù)列；
同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0為首項，以
2
2
為公比的等比數(shù)列
（3）若將an，bn寫成列向量形式，則存在矩陣A，使
an
bn
=A
an-1
bn-1
=A(A
an-2
bn-2
)=A2
an-2
bn-2
=…=An-1
a1
b1
，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=
-24
-57
-24
-57
；  ②若矩陣Bn=A+A2+A3+…+An，矩陣Cn=PBnQ，其中矩陣Cn只有一個元素，且該元素為Bn中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：
P=
1 
1 
，Q=
1
1
P=
1 
1 
，Q=
1
1
； ③矩陣Cn中的唯一元素是
2n+2-4
2n+2-4
．
計算過程如下：

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

計算：（1）若數(shù)列an=
1
n(n-1)
，求
lim
n→∞
(a2+a3+a4+…+an)；
（2）若函數(shù)f(x)=
x
-1
x•(x-1)
(x＞1)
a+2x(x≤1)
在R上是連續(xù)函數(shù)，求a的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2006-2007學年重慶市南開中學高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

計算：（1）若數(shù)列，求；
（2）若函數(shù)在R上是連續(xù)函數(shù)，求a的取值．

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