Question

已知直線l：x+y-2=0，兩點A（2，0），B（4，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）動點P（x，y）與兩點O、A的距離之比為1：

3

，求P點所在的曲線方程；
（Ⅱ）若圓C過點 B，且與直線l相切于點A，求圓C的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用PO：PA=1：

3

，則PA²=3PO²，化簡，可得P點所在的曲線方程；
（Ⅱ）設圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，依題意：圓心（a，b）既在過點A且與直線l垂直的直線上，又在AB的垂直平分線上，即可求出求圓C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得：PO：PA=1：

3

，則PA²=3PO²，…（2分）
所以（x-2）²+y²=3（x²+y²），…（4分）
即（x-1）²+y²=3，…（6分）
（Ⅱ）設圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
依題意：圓心（a，b）既在過點A且與直線l垂直的直線上，又在AB的垂直平分線上，
因為A（2，0），B（4，0），所以AB的垂直平分線方程是：x=3，…（8分）
過點A且與直線l垂直的直線方程是：y=x-2，…（10分）
所以

a-b-2=0 a=3

，解得：a=3，b=1，…（12分）
此時：r=

2

，…（14分）
所以，圓C的方程是：（x-3）²+（y-1）²=2             …（16分）

點評：本題考查求圓C的方程，考查學生的計算能力，確定圓心坐標是關鍵．