Question

14．某高校一專業(yè)在一次自主招生中，對(duì)20名已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行語言表達(dá)能力和邏輯思維能力測試，結(jié)果如表：

語言表達(dá)能力 人數(shù) 邏輯思維能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	m	1
優(yōu)秀	1	3	n

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20名參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為$\frac{2}{5}$．
（1）從參加測試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，求其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；
（2）從參加測試的20名學(xué)生中任意抽取2名，設(shè)語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及其均值．

Answer 1

分析 （1）語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+n）名，由題意得$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，從而n=2，m=4，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出從參加測試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，其中至少有一名邏輯能力優(yōu)秀的學(xué)生．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（1）用A表示“從這20名參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”，
∵語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+n）名，
∴P（A）=$\frac{6+n}{20}=\frac{2}{5}$，解得n=2，
∴m=4，
用B表示“從參加測試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，其中至少有一名邏輯能力優(yōu)秀的學(xué)生”，
∴P（B）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，
∵20名學(xué)生中，語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)共有名，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{48}{95}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{14}{95}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{48}{95}$	$\frac{14}{95}$

E（X）=$0×\frac{33}{95}+1×\frac{48}{95}+2×\frac{14}{95}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．