Question

14．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，則OM⊥ON，則AF⊥BF，$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得x₀²+y₀²=4，由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$，代入即可求得x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{4}$，
代入雙曲線方程得：$\frac{7}{4{a}^{2}}-\frac{9}{4^{2}}$=1，求得a²=1，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），由右焦點(diǎn)F（2，0），則c=2
∵以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}$=（2-x₀）（2+x₀）-y₀²，
∴4-x₀²-y₀²=0，
即x₀²+y₀²=4，
由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴y₀²=$\frac{9}{7}$x₀²，
∴x₀²+$\frac{9}{7}$x₀²=4，
解得：x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{4}$，
代入雙曲線方程得：$\frac{7}{4{a}^{2}}-\frac{9}{4^{2}}$=1，
∴7b²-9a²=4a²b²，由b²=c²-a²=4-a²，
∴7（4-a²）-9a²=4a²（4-a²），解得：a²=1或a²=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何形狀，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．