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已知橢圓上一點關于原點的對稱點為為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為　     　.

 

【答案】

【解析】

試題分析：∵B和A關于原點對稱，∴B也在橢圓上。

設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a

又∵|BF|=|AF′|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……①

O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα   ……②

|BF|=2ccosα    ……③

將②③代入①  2csinα+2ccosα=2a

∴，即，

∵，

∴)≤1，故橢圓離心率的取值范圍為。

考點：本題主要考查橢圓的定義及其幾何性質，兩角和的正弦公式，正弦函數的圖象和性質。

點評：中檔題，本題利用橢圓的定義及直角三角形中的邊角關系，確定得到了橢圓離心率的表達式，根據角的范圍確定離心率的范圍，該題綜合性較強，也較為典型。

 

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