Question

13．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，令b_n-a_n=3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}$=a₁，a₁≠0，解得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$=$\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}$=（2n-1）a_n＞0，解得即可得出．
（2）b_n-a_n=3，可得b_n=a_n+3=2n+2．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}$=a₁，a₁≠0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$=$\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}$=（2n-1）a_n＞0，
解得a_n=2n-1．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n-a_n=3，∴b_n=2n-1+3=2n+2．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$=n²+3n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．