Question

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．
（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，求此時三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積；
（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f（x）；
（3）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，MN應(yīng)位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長，由三角形面積公式求面積
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，由三角形面積公式建立面積模型．
（3）根據(jù)分段函數(shù)，分別求得每段上的最大值，最后取它們當(dāng)中最大的，即為原函數(shù)的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實際問題的建設(shè)方案．
解答：解：（1）由題意，當(dāng)MN和AB之間的距離為1米時，MN應(yīng)位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，又因為EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通風(fēng)窗EMN的通風(fēng)面積為
（2）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，△EMN的面積；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，即時，△EMN的面積
綜上可得；
（3）當(dāng)MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動時，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則f（x）＜f（0）=；
當(dāng)MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動，等號成立時，
因此當(dāng)（米）時，每個三角形得到最大通風(fēng)面積為平方米．
點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數(shù)求最值以及基本不等式法等解題方法．