Question

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作直線l垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，且⊥，記點(diǎn)P的軌跡為C₁.

(1)求曲線C₁的方程.

(2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且=(≠0).試判斷直線PB與曲線C₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)已知圓C₂：x²+(y-a)²=2,若C₁、C₂在交點(diǎn)處的切線互相垂直，求a的值.

Answer 1

解：(1)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-2).

    ∵⊥,∴·=0.

    ∴x²-2y=0.

    ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²=2y(x≠0).

    (2)直線PB與曲線C₁相切，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀,y₀)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x₀,0).

    ∵=,∴=(0,-y₀).

    ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-y₀).

    ∵≠0,∴直線PB的斜率為k=.

    ∵x₀²=2y₀,∴k=x₀.

    ∴直線PB的方程為y=x₀x-y₀.

    代入x²=2y,得x²-2x₀x+2y₀=0.

    ∵Δ=4x₀²-8y₀=0,

    ∴直線PB與曲線C₁相切.

     (3)不妨設(shè)C₁、C₂的一個(gè)交點(diǎn)為N(x₁,y₁),C₁的解析式即為y=x²，則在C₁上N處切線的斜率為k′=x₁，圓C₂過(guò)N點(diǎn)的半徑的斜率為k=.                      ①

    又∵點(diǎn)N(x₁,y₁)在C₁上，所以y₁=x₁².                                   ②

    由①②得y₁=-a,x₁²=-2a,

    ∵N(x₁,y₁)在圓C₂上，

    ∴-2a+4a²=2.

    ∴a=-或a=1.

    ∵y₁＞0,∴a＜0.

    ∴a=-.