Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，a_n+S_n=4096．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，對(duì)數(shù)列{T_n}，從第幾項(xiàng)起T_n＜-509？

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a₁+S₁=4096，a₁=2048．a(chǎn)_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n，由此可知

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）由題設(shè)條件可知T_n=

1

2

（-n²+23n）．再由T_n＜-509，知n＞

23+ 4601

2

，由此可知從第46項(xiàng)起T_n＜-509．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，a₁=2048．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，
∴T_n=

1

2

（-n²+23n）．
由T_n＜-509，解得n＞

23+ 4601

2

，而n是正整數(shù)，
于是，n≥46．
∴從第46項(xiàng)起T_n＜-509．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．