已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+r=bn，則稱數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，T是它的一個周期．例如：
數(shù)列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數(shù)列；
數(shù)列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數(shù)列；
數(shù)列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數(shù)列…
（1）對于數(shù)列②，它的一個通項公式可以是數(shù)學公式，試再寫出該數(shù)列的一個通項公式；
（2）求數(shù)列③的前n項和Sn；
（3）在數(shù)列③中，若a=2，b=數(shù)學公式，c=-1，且它有一個形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜數(shù)學公式，求該數(shù)列的一個通項公式bn．

解：（1）∵數(shù)列a，b，a，b，…可看作周期為2的數(shù)列；
∴an=等．（3分）
（2）數(shù)列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數(shù)列，所以當n=3k+1時，；（5分）
當n=3k+2時，；（7分）
當n=3k+3時，（k∈N）．（9分）
（3）由題意，ω＞0，應有，得ω=，（10分）
于是bn=Asin（n+φ）+B，
把b1=2，b2=，b3=-1，代入上式得（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=，再代入（1）的展開式，可得-φ+B=，與（3）聯(lián)立得B=，（13分）
Asinφ=-，于是tanφ=-
因為|φ|＜，所以φ=-，（14分）
于是可求得A=．（15分）
故bn=sin（）+（16分）
分析：（1）根據(jù)數(shù)列a，b，a，b，…可看作周期為2的數(shù)列，可寫出數(shù)列的通項；
（2）數(shù)列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數(shù)列，故可分類得出結(jié)論；
（3）由題意，ω＞0，應有，得ω=，于是bn=Asin（n+φ）+B，把b1=2，b2=，b3=-1，代入上式，即可得出結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學思想，有一定難度．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0稱為函數(shù)f（x）的不動點；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），則稱{an} 為由函數(shù)f（x）導出的數(shù)列．
設函數(shù)g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函數(shù)g（x）的不動點x1，x2；
（2）設a1=3，{an} 是由函數(shù)g（x）導出的數(shù)列，對（1）中的兩個不動點x1，x2（不妨設x1＜x2），數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}是等比數(shù)列，并求
lim
n→∞
an；
（3）試探究由函數(shù)h（x）導出的數(shù)列{bn}，（其中b1=p）為周期數(shù)列的充要條件．
注：已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+T=bn，則稱數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列，T是它的一個周期．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+r=bn，則稱數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，T是它的一個周期．例如：
數(shù)列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數(shù)列；
數(shù)列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數(shù)列；
數(shù)列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數(shù)列…
（1）對于數(shù)列②，它的一個通項公式可以是an =
a   n為正奇數(shù)
b    n為正偶數(shù)
，試再寫出該數(shù)列的一個通項公式；
（2）求數(shù)列③的前n項和Sn；
（3）在數(shù)列③中，若a=2，b=
1
2
，c=-1，且它有一個形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，求該數(shù)列的一個通項公式bn．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x0稱為函數(shù)f（x）的不動點；若a1∈D，an+1=f（an）（n∈N*），則稱{an} 為由函數(shù)f（x）導出的數(shù)列．
設函數(shù)g（x）=
4x+2
x+3
，h（x）=
ax+b
cx+d
(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函數(shù)g（x）的不動點x1，x2；
（2）設a1=3，{an} 是由函數(shù)g（x）導出的數(shù)列，對（1）中的兩個不動點x1，x2（不妨設x1＜x2），數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}是等比數(shù)列，并求
lim
n→∞
an；
（3）試探究由函數(shù)h（x）導出的數(shù)列{bn}，（其中b1=p）為周期數(shù)列的充要條件．
注：已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+T=bn，則稱數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列，T是它的一個周期．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列{bn}，若存在正整數(shù)T，對一切n∈N*都有bn+r=bn，則稱數(shù)列{bn}為周期數(shù)列，T是它的一個周期．例如：
數(shù)列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數(shù)列；
數(shù)列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數(shù)列；
數(shù)列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數(shù)列…
（1）對于數(shù)列②，它的一個通項公式可以是，試再寫出該數(shù)列的一個通項公式；
（2）求數(shù)列③的前n項和Sn；
（3）在數(shù)列③中，若a=2，b=，c=-1，且它有一個形如bn=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求該數(shù)列的一個通項公式bn．

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