Question

已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？請(qǐng)判斷并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可．任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂＞0，利用函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，即可作出判斷．
解答：解：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，著重考查函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于中檔題．