Question

已知兩條曲線f（x）=e^x，g（x）=lnx，
（Ⅰ）求過曲線f（x）=e^x上的點(diǎn)（a，e^a）的切線l的方程；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的切線l與曲線g（x）=lnx也相切，求證：a的值在-2＜a＜-1與1＜a＜2范圍中的一個(gè)。

Answer 1

解：（Ⅰ）已知f（x）=e^x，則f'（x）=e^x，
∴曲線f（x）=e^x在點(diǎn)（a，e^a）處的切線斜率k=e^a，
∴所求切線l的方程為y-e^a=e^a（x-a），即y=e^ax+e⁴-ae^a； ①
（Ⅱ）切線l與曲線g（x）=lnx相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₁，lnx₁），
又g′（x）=，
同理曲線g（x）=lnx在點(diǎn)（x₁，lnx₁）處的切線方程為，
即
由①②得
由③④得e^a-ae^a=-a-1，⑤
令F（a）=ae^a-e^a-a-1，a∈R，
所以F′（a）=e^a+ae^a-e^a-1=ae^a-1，
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)'（a）＜0，又a＞0時(shí)，F(xiàn)'（a）單調(diào)遞增，F(xiàn)'（1）＞0，
由零根定理知在區(qū)間（0，1）之間有一個(gè)根α，使F'（a）=0，

其中0＜α＜1，
，
由a為F（a）=0的一個(gè)解，
∴a的值是（-2，-1）與（1，2）范圍的一個(gè)。