Question

兩個命題P：“對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立”；Q：“關于x的方程x²-x+a=0有兩個不等的實數根”，如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，則實數a的取值范圍是

（-∞，0）∪[

1

4

，4）

．

Answer 1

分析：根據二次函數恒成立，求出命題p為真時a的取值范圍，根據二次方程有實根求出命題q為真時a的取值范圍，然后根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q中一個為真一個為假，分類討論后，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解；∵對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立”
①a=0時，1＞0恒成立
②a≠0時，由二次函數的性質可得

a＞0 △=a2-4a＜0

，解可得0＜a＜4
綜上可得P：0≤a＜4
∵關于x的方程x²-x+a=0有不等實數根
∴△=1-4a＞0
∴Q：a＜

1

4

∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真
如果p真q假，

0≤a＜4 a≥  1 4

，∴

1

4

≤a＜4
如果p假q真，

a≥4或a＜0 a≤ 1 4

，∴a＜0
所以實數a的取值范圍為a＜0或，

1

4

≤a＜4
故答案為：（-∞，0）∪[

1

4

，4）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，復合命題的真假，函數恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．