Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形．∠BAD＝，AD∥BC，AB＝a，BC＝a，AD＝2a，PA⊥面ABCD，PD與底面成角為．

(1)若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

(2)求異面直線AE與CD所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解　　方法一： 　　(1) 　　(2)∵PA⊥面ABCD　∴PD在面ABCD上的射影為AD． 　　∴∠PDA為PD與底面ABCD所成的角， 　　∴∠PDA＝． 　　在Rt△PAD中，AE⊥PD，AD＝2a，∠PDA＝， 　　∴PA＝，PD＝，AE＝a，DE＝a， 　　在面PCD內(nèi)過E作EF∥CD交PC于F，則∠FEA為異面直線AE與CD所成的角或補角． 　　在直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝，BC＝a，AB＝a，AD＝2a． 　　連AC，易知AC＝CD＝2a．∴EF＝． 　　∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AC，AD＝AC＝2a，PA公共邊，∴Rt△PAC≌Rt△PAD，，∴AF＝AE＝a． 　　在△EFA中，cos∠AEF＝，∴∠AEF＝arccos． 　　方法二： 　　(1)設(shè)＝p，＝c，＝b則易知p·b＝c·b＝p·c＝0且|p|＝，|b|＝a，|c|＝2a．過E作EN∥PA交AD于N，過E作EM∥AD交PA于M． 　　則AM＝AP，AN＝AD．∴＝c＋p． 　　∴＝c＋p－b． 　　又＝c－p，∴·＝()·(c－p)＝ 　　(2) 　　 　　||2·＝(c－b)2＝4a2，||＝2a，||＝a，cos<，>＝． 　　∴異面直線AE與CD所成的角為arccos．