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下列說法中:
①函數y=lg(x2-ax-a)的值域為R,則a∈(-4,0);
②O是△ABC所在平面上一定點,動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)
且λ∈[0,+∞),則P的軌跡一定經過△ABC的內心;
③要得到函數y=f(1-x)的圖象只需將y=f(-x)的圖象向左平移1個單位;
④若函數f(x)=x+lo
g
 
2
(x+
x2+1
)
,則“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要條件.
其中正確的序號是
分析:①函數y=lg(x2-ax-a)的值域為R,就是g(x)=ax2+ax+1的值域為[0,+∞),根據△≥0,進行求解;
②根據動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)
進行移項,發(fā)現(xiàn)
AP
AB
+
AC
的關系進行判斷;
③根據平移的性質進行判斷,注意“左加右減”;
④已知函數f(x)=x+lo
g
 
2
(x+
x2+1
)
,證明f(x)是奇函數又是增函數即可證明;
解答:解:①∵函數y=lg(x2-ax-a)的值域為R,
可得ax2+ax+1的值域為[0,+∞),
∴△≥0,即(-a)2-4×(-a)=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4;故①錯誤;
②O是△ABC所在平面上一定點,動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)
,
AP
=λ(
AB
+
AC
),說明p在邊BC的中線上,λ∈[0,+∞),
∴P的軌跡一定經過△ABC的重心,故②錯誤;
③y=f(-x)的圖象向左平移1個單位可得y=f[-(x+1)]=f(-x-1),
故③錯誤;
④因為函數f(x)=x+lo
g
 
2
(x+
x2+1
)
,f(-x)=-x+log2(-x+
(-x)2+1
)

=-[x+log2
1
x2+1
-x
]
=-[x+lo
g
 
2
(x+
x2+1
)
]=-f(x),f(x)是奇函數,
又f(x)為增函數,∴f(x)在R上是單調增函數,
若“m+n≥0”可得m≥-n,可得f(m)≥f(-n),可得f(m)≥-f(n)即“f(m)+f(n)≥0”;
若“f(m)+f(n)≥0”,可得f(m)≥-f(n)=f(-n),∴m≥-n即m+n≥0,
∴“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要條件故④正確.
故④正確,
故答案為:④
點評:此題是一道綜合題,考查了二次函數的性質、向量平移的性質、函數的單調性及奇偶性的應用,是一道基礎題,難度不大;
練習冊系列答案
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下列說法中:①函數y=lg(x2-ax-a)的值域為R,則a∈(-4,0);

②O是△ABC所在平面上一定點,動點P滿足且λ∈[0,+∞),則P的軌跡一定經過△ABC的內心;

③要得到函數y=f(1-x)的圖象只需將y=f(-x)的圖像向左平移1個單位;

④若函數f(x)=x+log2(x+),則“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要條件.其中正確的序號是________

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③要得到函數y=f(1-x)的圖象只需將y=f(-x)的圖像向左平移1個單位;

④若函數f(x)=x+log2(x+),則“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要條件.其中正確的序號是________

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③要得到函數y=f(1-x)的圖象只需將y=f(-x)的圖象向左平移1個單位;
④若函數,則“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要條件.
其中正確的序號是   

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