Question

（2010•溫州一模）如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，為DB的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：AE⊥BC；
（Ⅱ）線段BC上是否存在一點(diǎn)F使得PF與面DBC所成的角為60°，若存在，試確定點(diǎn)F的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）欲證：BC⊥AE，先取BC的中點(diǎn)O，連接EO，AO，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，只須證明：BC⊥面AEO即可．
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)線段BC上存在一點(diǎn)F使得PF與面DBC所成的角為60°，再建立空間坐標(biāo)系利用空間向量的夾角公式，求出y的長(zhǎng)值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：證明：（I）取BC的中點(diǎn)O，連接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，
OE所在的直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=2，
則P(

3

，0，1)，設(shè)F（0，y，0），
則

PF

=(-

3

，y，-1)，（7分）
而平面BCD的一個(gè)法向量

n

=（1，0，0），
則由

PF • n

| PF || n |

=

3

2

，（9分）
解得y=0，
故存在F，且F為BC的中點(diǎn)，使得PF與面DBC所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間所成角、直線與平面垂直的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)及空間向量的夾角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．