Question

數列{a_n}的n前項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在m，使數列{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數列，若存在，求m的取值范圍并求a_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）因為數列{a_n}的n前項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
當n=1，2，3時解得a₁=2，a₂=6，a₃=16；
（2）由（1）及題意a_n=s_n-s_n-1=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1）?a_n=2a_n-1+2^n-1
∴=故{}是以1為首項，以為公差的等差數列
所以 =1+，
∴a_n=（n+1）×2^n-1，
所以a_n-（n+m）2^n-1=（1-m）×2^n-1
當m≠1，a_n-（n+m）2^n-1}是等比數列
故存在實數m≠1，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比數列．
分析：（1）直接利用遞推關系式，通過n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）利用已知條件，求出通項公式，判斷a_n-（n+m）2^n-1，是等比數列時，求出m的值即可．
點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式的應用，判斷數列是不是等比數列的條件，考查計算能力．