Question

三次函數(shù)f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]內(nèi)恒為正值，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：方法1：拆分函數(shù)f（x），根據(jù)直線的斜率觀察可知在[1，2]范圍內(nèi)，直線y₂與y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范圍
方法2：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)b進(jìn)行討論，比較是否與已知條件相符，若不符則舍掉，最后求出b的范圍

解答：解：方法1：可以看作y₁=x₃，y₂=3b（x-1），且y₂＜y₁
x₃的圖象和x₂類似，只是在一，三象限，
由于[1，2]，討論第一象限即可
直線y₂過（1，0）點(diǎn)，斜率為3b．
觀察可知在[1，2]范圍內(nèi)，直線y₂與y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值．
對(duì)y₁求導(dǎo)得相切的斜率3（x2），相切的話3b=3（x₂），b的最大值為x₂．
相切即是有交點(diǎn)，y₁=y₂ 3x₂（x-1）=x₃ x=1.5
則b的最大值為x₂=9/4，
那么b＜9/4．
方法2：f（x）=x^3-3bx+3b
f'（x）=3x^-3b b≤0時(shí)，
f（x）在R上單調(diào)增，只需f（1）=1＞0，顯然成立；
b＞0時(shí)，令f'（x）=0    x=±√b---＞f（x）在[√b，+∞）上單調(diào)增，在[-√b，√b]上單調(diào)減；
如果√b≤1即b≤1，只需f（1）=1＞0，顯然成立；
如果√b≥2即b≥4，只需f（2）=8-3b＞0---＞b＜8/3，矛盾舍去；
如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必須f（√b）=b√b-3b√b+3b＞0
-b（2√b-3）＞0
√b＜3/2
b＜9/4，
即：1＜b＜9/4
綜上：b＜9/4

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生的解題思維，萬(wàn)變不離其宗，只要會(huì)了函數(shù)的求導(dǎo)就不難解該題了．