Question

已知△ABC的面積為1，且滿足0＜

AB

•

AC

≤2，設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ．
（ I）求θ的取值范圍；
（ II）求函數(shù)f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-cos(2θ+

π

6

)的最大值及取得最大值時的θ值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ，利用三角形的面積公式表示出面積，令面積為1列出關(guān)系式

1

2

bcsinθ=1，表示出bc，且得到bccosθ的范圍，將表示出的bc代入求出的范圍中，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理后求出tanθ的范圍，由θ∈（0，π），利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出θ的范圍；
（Ⅱ）將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由第一問求出的θ的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域即可求出函數(shù)的最大值及取得最大值時的θ值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c，
∵△ABC的面積為1，且滿足0＜

AB

•

AC

≤2，設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ，
∴

1

2

bcsinθ=1，即bc=

2

sinθ

，0＜bccosθ≤2，
∴0＜

2

tanθ

≤2，即tanθ≥1，
∵θ∈（0，π），
∴θ∈[

π

4

，

π

2

）；
（Ⅱ）f（θ）=[1-cos（

π

2

+2θ）]-[

3

2

cos2θ-

1

2

sin2θ]
=1+sin2θ-

3

2

cos2θ+

1

2

sin2θ=

3

sin（2θ-

π

6

）+1，
∵θ∈[

π

4

，

π

2

），2θ-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

）
∴當(dāng)θ=

π

3

時，f（θ）_max=

3

+1．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，以及平面向量的數(shù)量積運算，涉及的知識有：二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．