Question

記函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=x．
（1）若函數(shù)F（x）=af（x）+g²（x）在x=1處取得極值，試求a的值；
（2）若函數(shù)G（x）=af（x）+g²（x）-b•g（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且，試求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)H（x）=對任意x₁，x₂∈[1，3]恒有|H（x₁）-H（x₂）|≤a成立，試求a的取值范圍．（參考：ln2≈0.7）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)F（x）=aln（x+1）+x²，求得F′（x）=，根據(jù)F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通過對G（x）求導(dǎo)，再研究導(dǎo)數(shù)的分子對應(yīng)的二次函數(shù)根的分布，在aob坐標(biāo)系中作出符合題意的不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，通過求界點(diǎn)的方法，可找出a的取值范圍；
（3）對H（x）求導(dǎo)，得到一個分式函數(shù)，再研究此函數(shù)的分子對應(yīng)的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的最大值為零，從而得出函數(shù)H（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，再結(jié)合題意得a≥|H（x）_max-H（x）_min|，從而得出a的取值范圍．
解答：解：（1）由F（x）=aln（x+1）+x²，可得F′（x）=，根
由題意得F′（1）=0，即，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x²-bx   （x＞-1），
求得 G′（x）=
令分子為h（x）=2x²+（2-b）x+（a-b），由題意得：
化簡得：，

由圖可得，由此可得
（3）由H（x）=得：
記分子為m（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²，（x＞-1），可得m′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
根據(jù)m′（x）的零點(diǎn)不難得出m（x）在區(qū)間（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，
故m（x）≤m（0）=0，因此可得H′（x）≤0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，
所以H（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
故H（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
再由題意，可知：a≥|H（x）_max-H（x）_min|=|H（1）-H（3）|=
所以a的取值范圍是
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時考查了含有二次和對數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)的分布問題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．利用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．