Question

16．函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)m的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 只有y=x^α型的函數(shù)才是冪函數(shù)，當m²-1=1函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m才是冪函數(shù)，又函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，所以冪指數(shù)應(yīng)大于0．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（m²-1）x^m是冪函數(shù)，
∴m²-1=1，解得：m=±$\sqrt{2}$，
m=$\sqrt{2}$時，f（x）=${x}^{\sqrt{2}}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
m=-$\sqrt{2}$時，f（x）=${x}^{-\sqrt{2}}$在（0，+∞）上是減函數(shù)，
則實數(shù)m=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了冪函數(shù)的概念及其單調(diào)性，解答的關(guān)鍵是掌握冪函數(shù)定義及性質(zhì)，冪函數(shù)在冪指數(shù)大于0時，在（0，+∞）上為增函數(shù)．