Question

已知拋物線y²=2x，設(shè)A，B是拋物線上不重合的兩點(diǎn)，且

OA

⊥

OB

，

OM

=

OA

+

OB

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|

OA

|=|

OB

|，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由拋物線的對(duì)稱性知，AB垂直于橫軸，可設(shè)直線AB的方程是x=b，用b表示出兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再由

OA

⊥

OB

建立方程求出b即可，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出向量OM的坐標(biāo)既得點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出直線AB的方程y=kx+b，與拋物線的方程聯(lián)立，利用

OA

⊥

OB

，找出兩參數(shù)的關(guān)系，用參數(shù)表示出兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的和與縱坐標(biāo)的和，即得出點(diǎn)M的坐標(biāo)的參數(shù)方程，消去參數(shù)即得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由拋物線的對(duì)稱性知，AB垂直于橫軸，可設(shè)直線AB的方程是x=b，可解得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（b，

2b

），（b，-

2b

），則

OA

=（b，

2b

）

OB

=（b，-

2b

），有

OA

⊥

OB

得b²-2b=0，得b=0（舍），b=2，故，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，2），（2，-2）
又

OM

=

OA

+

OB

=（4，0），故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，由（1）知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），
當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)過兩點(diǎn)A，B的直線方程為x=ny+m代入拋物線y²=2x得y²=2ny+2m，即y²-2ny-2m=0，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有y₁y₂=-2m，y₁+y₂=2n，
故有x₁x₂=（ny₁+m）（ny₂+m）=n²y₁y₂+nm（y₁+y₂）+m²=-2mn²+2mn²+m²=m²，
    x₁+x₂=n（y₁+y₂）+2m=2n²+2m
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴-2m+m²=0，得m=2或m=0（舍）
∵

OM

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（2n²+2m，2n）=（2n²+4，2n），令M（x，y），則有

x=2n2+4 y=2n

，消去參數(shù)得x=

y2

2

+4，即y²=2x-8
驗(yàn)證知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）符合y²=2x-8
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是y²=2x-8

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查了由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及根據(jù)拋物線的兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解本題的關(guān)鍵是厘清題設(shè)中所給的條件，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，向量垂直時(shí)坐標(biāo)之間的關(guān)系，本題的難點(diǎn)在于設(shè)出過兩點(diǎn)AB的直線方程與拋物線聯(lián)立尋求拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的參數(shù)表示，解題過程中要聯(lián)想到所解出的坐標(biāo)方程與題設(shè)中位置關(guān)系的聯(lián)系．解題最后所得的點(diǎn)M的參數(shù)方程，由于近幾年大多教材都刪去了參數(shù)方程這一部分的知識(shí)，故在做此題時(shí)，沒有學(xué)過參數(shù)方程的同學(xué)解出

x=2n2+4 y=2n

就不用再往下化簡(jiǎn)了．