Question

（2005•金山區(qū)一模）已知S_n是正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}為無窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90．（1）求a_n、b_n；（2）從數(shù)列{

1

bn

}中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于

1

S 2 6

．若能的話，請寫出這個數(shù)列的第一項(xiàng)和公比？若不能的話，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù){S_n²}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式，得到S_n，然后根據(jù)a_n=

a1    n=1 Sn-Sn-1 n≥2

進(jìn)行求解，根據(jù){b_n}是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比即可求出b_n；
（2）設(shè)可以挑出一個無窮等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為c₁=（

1

3

）^p，公比為（

1

3

）^k，（p、k∈N），它的各項(xiàng)和等于

1

S 2 6

=

1

8

，建立等式關(guān)系，討論p和k的大小，從而求出滿足條件的等比數(shù)列．

解答：解：（1）{S_n²}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；所以S_n²=3+（n-1）=n+2
因?yàn)閍_n＞0，所以S_n=

n+2

（n∈N）（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

-

n+1

又a₁=S₁=

3

，所以a_n=

3                    n=1 n+2 - n+1    n＞1

（n∈N） （4分）
設(shè){b_n}的首項(xiàng)為b₁，公比為q，則有

b1q+b1q3=90 b1+b1q2=30

（6分）
所以

b1=3 q=3

，所以b_n=3ⁿ（n∈N）（8分）
（2）

1

bn

=（

1

3

）ⁿ，設(shè)可以挑出一個無窮等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為c₁=（

1

3

）^p，公比為（

1

3

）^k，（p、k∈N），它的各項(xiàng)和等于

1

S 2 6

=

1

8

，（10分）
則有

( 1 3 )p

1-( 1 3 )k

=

1

8

，所以（

1

3

）^p=

1

8

[1-（

1

3

）^k]，（12分）
當(dāng)p≥k時3^p-3^p-k=8，即3^p-k（3^k-1）=8，因?yàn)閜、k∈N，所以只有p-k=0，k=2時，
即p=k=2時，數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)和為

1

S 2 6

． （14分）
當(dāng)p＜k時，3^k-1=8.3^k-p，因?yàn)閗＞p右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為

1

9

，公比為

1

9

，使它的各項(xiàng)和等于

1

S 2 6

．（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的求和等有關(guān)知識，屬于中檔題．