Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（2）求y=f（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：首先分析函數(shù)表達(dá)式f（x）=2sinx（sinx+cosx），不是三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，需要化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)周期公式直接求解．然后根據(jù)sinx函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出關(guān)系式求解f（x）的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+

2

(sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

)=1+

2

sin(2x-

π

4

)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，最大值為1+

2

．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)
得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z)
所以，單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三角函數(shù)周期性最值和單調(diào)區(qū)間的求法，此類題目求解時(shí)候注意要先把三角函數(shù)表達(dá)式化為標(biāo)準(zhǔn)形式再求解．