Question

已知向量

AB

=（3，1），

AC

=（-1，a），a∈R
（1）若D為BC中點(diǎn)，

AD

=（m，2），求a、m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意和向量的加法求出

AD

的坐標(biāo)，由題意和向量相等的條件列出方程，求出a和m的值；
（2）根據(jù)△ABC是直角三角形中的內(nèi)角為直角，分三種情況利用兩個(gè)向量垂直則數(shù)量積為零，列出方程求解，最后把答案和在一起．

解答：解：（1）由題意知，D為BC中點(diǎn)，∴

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）=（1，

1+a

2

）（2分）
∵

AD

=（m，2），∴

m=1 1+a=2×2

，解得

a=3 m=1

．（7分）
（2）由題意分三種情況求解：
①當(dāng)A=90°時(shí)，即

AB

•

AC

=0，則3×（-1）+1•a=0，解得a=3（9分）
②當(dāng)B=90°時(shí)，∵

BC

=

AC

-

AB

=（-4，a-1）（10分）
∴3×（-4）+1•（a-1）=0，解得a=13（12分）
③當(dāng)C=90°時(shí)，即

AB

•

BC

=0，則-1×（-4）+a•（a-1）=0，解得a無解，
綜上，a=3或13（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，還考查了向量垂直是對(duì)應(yīng)的數(shù)量積為零以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用這些條件列出方程進(jìn)行求解．